Ich habe grade mal ein kleines Programm gemacht um Wuerfelstatistiken
zu berechnen.

Wieviele Wuerfe braucht man durchschnittlich um mit 1 Wuerfel
eine 6 zu werfen? Die Antwort ist eindeutig 6.
Stell dir vor du wuerfelst 1000 mal. Dann hast du etwa 166 mal eine
6 geworfen. Wenn du waehrend diesen 1000 Wuerfen jeweils versucht hast
eine 6 zu wuerfeln und die Anzahl gebrauchter Wurfe gezaehlt hast, dann
ist das zusammengezaehlt etwa 1000, und dividiert durch 166 gibt 6.
Das stimmt auch mit dem Resultat meines Programms ueberein.

Hab den Fehler in der Berechnung mit 2 Wuerfeln gefunden, es waren 2 Fehler:
Fuer die Faelle wo man als 1.Wurf keinen 6-er hat sind die Anzahl Wuerfe
natuerlich nicht x sondern x+1. Genau 1 6-er zu wuerfeln ist die
Wahrscheinlichkeit nicht 9/36 sondern 10/36.
Hier also die korrigierte Berechnung:
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Wieviele Wuerfe man bei 2 Wuerfeln braucht um alles 6-er zu werfen
habe ich auch nochmals von Hand ausgerechnet:
Die Wahrscheinlichkeit beim 1.Wurf zwei 6-er zu haben ist 1/36.
Beim 1.Wurf genau eine 6 zu haben ist 10/36.
Also braucht man in 1/36 aller Faelle nur 1 Wurf und in 10/36 aller
Faelle durchschnittlich 7 Wuerfe. In den restlichen 25/36 Faellen
braucht man nochmals x Wuerfe, also x+1 Wuerfe.
Als Gleichung geschrieben:
 x = 1/36*1 + 10/36*7 + 25/36*(x+1)
ausmultipliziert:
 x = 1/36*1 + 10/36*7 + 25/36*x + 25/36
25/36*x subtrahiert:
 11/36*x = 1/36*1 + 10/36*7 + 25/36
mit 36/11 multipliziert:
 x = 36/11*(1/36*1 + 10/36*7 + 25/36) = 1/11*(1+10*7+25) = 8.72727
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Das stimmt jetzt mit dem Programm ueberein: 8.73

Dass die durchschnittliche Anzahl Wuerfe bei sehr vielen Wuerfeln
regelmaessig groesser wird laesst sich auch leicht erklaeren:
Beim 1. Wurf werden ziemlich genau 1/6 aller Wuerfel eine 6 zeigen.
Es sind also noch 5/6 der Wuerfel uebrig die nochmals geworfen werden
muessen. Oder anders gesagt es bleiben noch N/1.2 Wuerfel uebrig.
Um auf 1/10 der urspruenglichen Menge zu kommen brauchen wir
also durchschnittlich log(10)/log(1.2) = 1/0.07918 = 12.63 Wuerfe.
Resultat vom Programm fuer 10 100 bis 1000000 Wuerfel betrachtet
ergibt einen Durchschnitt von 12.62, stimmt also erstaunlich gut.

Ich hab das Programm noch etwas erweitert um auszurechnen was denn
der haeufigste Fall ist. Also z.B. mit 2 Wuerfeln kommt es am haeufigsten
vor dass man im 4.Wurf beides 6-er hat, naehmlich in 9% aller Faelle.
Hier also die erweiterten Resultate von meinem Programm:

Bei weniger als 100000 Versuchen sind die Werte aber ziemlich
unzuverlaessig (da muesste ich den Compi noch tagelang rechnen lassen).

Viele Gruesse
Rolf
